Takeshi Nagae's Blog: 固定金利下での元利均等返済乗数

2009/04/29

固定金利下での元利均等返済乗数

X円の借金をT年かけて返済することを考える．期間中の金利rは変化しないとする．T年間毎年x円を支払い続けることの現在価値がX円に等しくなるには，xが
$x+\frac{x}{1+r}+\frac{x}{(1+r)^{2}}+\cdots+\frac{x}{(1+r)^{T}} \simeq x \int_{0}^{T} e^{-r t} {\rm d} t = x\frac{1-e^{-rT}}{r}$
を満足する必要がある．従って，毎年
$X\frac{r}{1-e^{-rT}}$ 円
だけ払い続ければ，T年で借金を完済できる．

ここで，Xの乗数 $b(r, T) = \frac{r}{1-e^{-rT}}$ をいくつかの金利rと返済期間Tについてあらかじめ計算しておくと便利である．